Curso Alcance - Apostila de Matemática Básica: Aritmética

1. Operações Básicas

O que é:

São os processos fundamentais da matemática para combinar ou transformar números. Incluem adição, subtração, multiplicação e divisão.

Explicação objetiva:

• Adição (+): Juntar ou somar quantidades.
• Subtração (-): Retirar uma quantidade de outra.
• Multiplicação (×): Adição repetida de um mesmo número.
• Divisão (÷): Repartir uma quantidade em partes iguais.

Exemplo claro:

• Adição: 15 + 10 = 25
• Subtração: 50 - 12 = 38
• Multiplicação: 7 × 4 = 28
• Divisão: 30 ÷ 5 = 6

Questão de Aplicação (Enem 2023)

Uma pessoa pratica quatro atividades físicas — caminhar, correr, andar de bicicleta e jogar futebol — como parte de seu programa de emagrecimento. Essas atividades são praticadas semanalmente de acordo com o quadro, que apresenta o número de horas diárias por atividade.

Dias da semana	Caminhar	Correr	Andar de bicicleta	Jogar futebol
Segunda-feira	1,0	0,5	0,0	2,0
Terça-feira	0,5	1,0	0,5	1,0
Quarta-feira	0,0	1,5	1,0	0,5
Quinta-feira	0,0	2,0	0,0	0,0
Sexta-feira	0,0	0,5	0,0	2,5

Ela deseja comemorar seu aniversário e escolhe o dia da semana em que o gasto calórico com as atividades físicas praticadas for o maior. Para tanto, considera que os valores dos gastos calóricos das atividades por hora (cal/h) são os seguintes:

Atividade física	Gasto calórico (cal/h)
Caminhar	248
Correr	764
Andar de bicicleta	356
Jogar futebol	492

O dia da semana em que será comemorado o aniversário é

• A) segunda-feira.
• B) terça-feira.
• C) quarta-feira.
• D) quinta-feira.
• E) sexta-feira.

Solução:

Para resolver, calculamos o gasto calórico de cada dia, multiplicando as horas de cada atividade pelo seu gasto calórico correspondente e, em seguida, somando os resultados.

• Segunda-feira: (1,0 × 248) + (0,5 × 764) + (2,0 × 492) = 248 + 382 + 984 = 1.614 cal
• Terça-feira: (0,5 × 248) + (1,0 × 764) + (0,5 × 356) + (1,0 × 492) = 124 + 764 + 178 + 492 = 1.558 cal
• Quarta-feira: (1,5 × 764) + (1,0 × 356) + (0,5 × 492) = 1146 + 356 + 246 = 1.748 cal
• Quinta-feira: (2,0 × 764) = 1.528 cal
• Sexta-feira: (0,5 × 764) + (2,5 × 492) = 382 + 1230 = 1.612 cal

Comparando os totais, o maior gasto calórico ocorre na quarta-feira. Resposta correta: C.

2. Números Primos e Fatoração

O que é:

• Número Primo: É um número natural maior que 1 que possui exatamente dois divisores: o número 1 e ele mesmo. Funciona como um "bloco de construção" da matemática, pois não pode ser formado pela multiplicação de outros números menores.
• Fatoração: É o processo de decompor um número composto (não primo) em um produto de seus fatores primos.

O número 2 é o único primo par. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Explicação objetiva:

Para fatorar um número, divida-o pelo menor número primo possível. Repita o processo com o resultado até chegar a 1. O número original será o produto de todos os primos que você usou como divisores.

Exemplo claro: Fatoração do número 36.

36 | 2
18 | 2
 9 | 3
 3 | 3
 1 | 
            

A forma fatorada de 36 é 2 × 2 × 3 × 3, ou 2² × 3².

Questão de Aplicação (Enem 2017)

Um ciclista amador de 60 anos de idade utiliza uma bicicleta com marchas. As marchas são combinações de engrenagens (coroas) na parte dianteira, com engrenagens (pinhões) na parte traseira. As coroas são ligadas ao pedal, e os pinhões, à roda traseira. Nessa bicicleta, ele dispõe de três coroas e seis pinhões, cujas quantidades de dentes são apresentadas no quadro.

	Quantidade de dentes
Coroas	46, 36 e 26
Pinhões	24, 22, 20, 18, 16 e 14

O ciclista utiliza as marchas de modo que, a cada volta completa do pedal (uma pedalada), o deslocamento da bicicleta seja o maior possível. Esse deslocamento é proporcional ao comprimento da circunferência da roda (C) e à razão entre a quantidade de dentes da coroa (Zc) e do pinhão (Zp). Ou seja, D = C × (Zc / Zp).

Considere que a roda dessa bicicleta tem 120 cm de circunferência.

Após analisar as opções de marcha, o ciclista avaliou que a mais adequada seria aquela em que, mantendo um ritmo constante de 60 pedaladas por minuto, ele conseguisse percorrer 5,4 km em meia hora.

Qual a marcha que o ciclista escolheu?

• A) Coroa 46 / Pinhão 18
• B) Coroa 46 / Pinhão 14
• C) Coroa 36 / Pinhão 16
• D) Coroa 36 / Pinhão 14
• E) Coroa 26 / Pinhão 22

Solução:

Esta é uma questão que, embora pareça complexa, pode ser resolvida com fatoração para simplificar os cálculos. Vamos por partes:

1. Meta de velocidade: Percorrer 5,4 km (5400 metros) em 30 minutos. Isso equivale a 10,8 km/h.
2. Pedaladas: 60 pedaladas por minuto.
3. Distância por pedalada: D = 120 cm × (Zc / Zp). Para ele atingir a meta, a distância por pedalada deve ser de 5400 m / (30 min × 60 pedaladas/min) = 3 metros = 300 cm.
4. Encontrar a razão Zc/Zp: 300 cm = 120 cm × (Zc / Zp) => Zc / Zp = 300 / 120 = 2,5.
5. Analisar as opções (usando fatoração para simplificar):
   • A) 46/18 = (2×23)/(2×3²) = 23/9 ≈ 2,55
   • B) 46/14 = (2×23)/(2×7) = 23/7 ≈ 3,28
   • C) 36/16 = (2²×3²)/(2⁴) = 9/4 = 2,25
   • D) 36/14 = (2²×3²)/(2×7) = 18/7 ≈ 2,57
   • E) 26/22 = (2×13)/(2×11) = 13/11 ≈ 1,18

A razão que mais se aproxima de 2,5 é a da opção A (46/18), que resulta em aproximadamente 2,55. Portanto, essa é a marcha escolhida. Resposta correta: A.

3. Critérios de Divisibilidade

O que é:

São regras que permitem verificar se um número é divisível por outro sem precisar realizar a divisão completa.

Explicação objetiva:

• Por 2: Se o número for par (terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8).
• Por 3: Se a soma de seus algarismos for divisível por 3.

  Explicação extra: Isso funciona por causa do nosso sistema numérico (decimal). Qualquer número pode ser escrito como uma soma de potências de 10 (ex: 123 = 1 × 100 + 2 × 10 + 3). Como 10 dividido por 3 deixa resto 1 (assim como 100, 1000, etc.), a divisibilidade do número por 3 depende apenas da soma de seus algarismos.

• Por 5: Se o número terminar em 0 ou 5.
• Por 6: Se for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
• Por 9: Se a soma de seus algarismos for divisível por 9.
• Por 10: Se o número terminar em 0.

Exemplo claro: O número 120.

• É divisível por 2 (termina em 0).
• É divisível por 3 (soma dos algarismos: 1+2+0 = 3).
• É divisível por 5 (termina em 0).
• É divisível por 10 (termina em 0).

4. Divisores e Número de Divisores

O que é:

• Divisores: São todos os números que dividem um determinado número de forma exata (com resto zero).
• Número de Divisores: É a quantidade total de divisores que um número possui.

Explicação objetiva:

Para saber a quantidade de divisores, primeiro fatore o número em primos. Depois, some 1 a cada um dos expoentes dos fatores primos e multiplique os resultados.

Exemplo claro: Quantos divisores o número 72 tem?

1. Fatoração passo a passo:

   72 | 2
   36 | 2
   18 | 2
    9 | 3
    3 | 3
    1 | 
                       

2. Forma fatorada de 72: 72 = 2³ × 3².
3. Os expoentes são 3 e 2.
4. Some 1 a cada expoente: (3+1) e (2+1), que resulta em 4 e 3.

   Por que somar 1? Porque para cada fator primo, também incluímos a opção dele ser elevado a 0 (ex: 2⁰=1). Assim, para o fator 2³, as potências possíveis em um divisor são 2⁰, 2¹, 2² e 2³, totalizando 4 opções (ou seja, 3+1).

5. Multiplique os resultados: 4 × 3 = 12.

O número 72 possui 12 divisores.

5. MMC e MDC

O que é:

• MMC (Mínimo Múltiplo Comum): É o menor número (diferente de zero) que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo.
• MDC (Máximo Divisor Comum): É o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo.

Explicação objetiva:

O método prático é a fatoração simultânea.

• Para o MMC: Multiplique todos os fatores primos encontrados na decomposição.
• Para o MDC: Multiplique apenas os fatores primos que dividiram todos os números ao mesmo tempo.

Exemplo claro: MMC e MDC entre 12 e 30.

Decomposição:

12, 30 | 2  <- (divide os dois)
 6, 15 | 2
 3, 15 | 3  <- (divide os dois)
 1,  5 | 5
 1,  1 |
            

• MDC: 2 × 3 = 6.
• MMC: 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

6. Fração e Decimal

O que é:

São duas formas diferentes de representar números que não são inteiros. Uma fração representa partes de um todo, e um número decimal usa uma vírgula para fazer o mesmo.

Explicação objetiva:

• Converter fração para decimal: Divida o numerador (número de cima) pelo denominador (número de baixo).
• Converter decimal para fração: Escreva o número sem a vírgula como numerador. O denominador será o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais. Simplifique se possível.

Exemplo claro:

• Fração para decimal: A fração 3/4 vira 3 ÷ 4 = 0,75.
• Decimal para fração: O decimal 0,5 vira 5/10, que simplificado é 1/2.

7. Porcentagem

O que é:

É uma forma de expressar uma proporção ou uma relação entre dois valores a partir de uma fração cujo denominador é 100. O símbolo é %.

Explicação objetiva:

"Por cento" significa "a cada cem". Para calcular a porcentagem de um valor, transforme a porcentagem em fração ou decimal e multiplique pelo valor.

Exemplo claro: Calcular 25% de 200.

8. Potenciação e Radiciação

O que é:

• Potenciação: É a operação de multiplicar um número (base) por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes (expoente).
• Radiciação: É a operação inversa da potenciação. Consiste em encontrar a base que, elevada a um certo expoente, produz o número original.

Explicação objetiva:

• Potenciação: Na forma aⁿ, a é a base e n é o expoente. Multiplicamos a por ele mesmo n vezes.
• Radiciação: Na forma n√a = b, a é o radicando, n é o índice e b é a raiz. Isso significa que bⁿ = a.

Exemplo claro:

• Potenciação: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
• Radiciação: 3√125 = 5, pois 5³ = 125.